Jumat, 18 Maret 2016
BAB I
PENDAHULUAN
A.
Latar
Belakang
Kalkulus
memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial
dan kalkulus
integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus.
Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya
yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit,
yang secara umum dinamakan analisis matematika.
Karena
kalkulus ini mempunyai dua cabang utama, tapi disini penulis ingin membahas
tentang kalkulus integralnya. Seperti yang kita ketahui bahwa kalkulus integral
juga memiliki banyak aplikasi, baik dalam kehidupan sehari-hari, dalam dunia
pendidikan ataupun dalam dunia kesehatan.
Namun
disini penulis akan membahas tentang
aplikasi kalkulus integral dalam dunia pendidikan khusus tentang integral
tertentu.
B.
Rumusan
Masalah
Adapun
permasalahan yang akan penulis rumuskan dalam makalah ini adalah sebagai
berikut :
1. Apa
itu integral tertentu ?
2. Bagaimana
penggunaan integral tentu ?
C.
Tujuan
Untuk
memenuhi tugas yang diberikan oleh dosen pembimbing serta utuk mengetahui semua
yang berkaitan dengan integral tertentu.
BAB II
PEMBAHASAN
A.
Integral
Tertentu
Integral
tertentu Diberikan suatu fungsi ƒ
bervariabel real x dan interval antara
[a, b] pada garis real.
secara
informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh
kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x =
a dan x = b. Pada notasi integral di atas:
a
adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain
pengintegralan, ƒadalah integran yang akan dievaluasi terhadap xpada interval
[a,b], dan dxadalah variabel pengintegralan.
Seiring
dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval
yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di
bawah kurva.
B.
Penggunaan
Integral Tentu
1.
Luas
Daerah Yang Dibatasi Oleh Kurva Dengan Sumbu X
Untuk
merumuskan integral tentu bagi luas suatu daerah yang di batasi oleh kurva
dengan sumbu X, perhatikan kurva y = f(x) yang ditampilkan pada gambar. Kurva f
ini merupakan fungsi kontinu dan tak negatif ( f( x )≥ 0
) dalam interval tertutup a ≤ x ≤ b
.Daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x =
b misalkan dilambangkan dengan S. Luas daerah S dirumuskan dengan menggunakan
integral tentu sebagai berikut:
L(
S )= ∫ a b f( x ) dx
Jika
kurva f ini merupakan fungsi kontinu dan tak positif f(x) ≤ 0
dalam interval tertutup [ a,b ] . Maka daerah yang dibatasi oleh kurva y =
f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b misalkan dilambangkan dengan S.
Luas daerah S dirumuskan dengan menggunakan integral tentu sebagai berikut:
L(S)=
− ∫ a b f( x ) dx
atau
L(S)=
| ∫ a b f( x ) dx |
Contoh
Soal
Tentukan
luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3 x 2 + 6x
, sumbu X, garis-garis x=0 dan x=2!
jawab:
L =
∫ 1 2 ( 3 x 2 + 6x ) dx
⇔ L =
[ x 3 + 3
x 2 ] 0 2
⇔ L =
{ ( 2 ) 3 + 3 ( 2 ) 2 } − {
( 0 ) 3 + 3
( 0 ) 2 } = 20
Jadi
luas daerahnya adalah 20 satuan luas.
2.
Luas
Daerah Yang Dibatasi Oleh Beberapa Kurva
Misalkan
diketahui kurva f dan g masing-masing dirumuskan dengan persamaan y= f(x) dan
y= g(x). Kedua kurva ini merupakan kurva-kurva yang kontinu dengan f( x ) ≥ g(
x ) dalam suatu interval tertutup a ≤ x ≤ b
.Luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x), kurva y = g(x), garis x = a, dan
garis x = b ditentukan dengan rumus :
L =
∫ a b { f( x ) − g( x ) } dx
Contoh
Soal:
Tentukan
luas kurva yang dibatasi oleh kurva y = x, kurva y = 2x, garis x = 1, dan garis
x = 2!
Jawab:
L=
∫ 1 2 { ( 2x ) − ( x ) } dx
⇔ L= ∫ 1 2 x dx
⇔L= [ 1 2 x 2 ] 1 2 = 1
1 2
Jadi
, luas daerahnya adalah 1 1 2
Ada 2 metode
menghitung volume benda putar dengan menggunakan integral, yaitu:
1.
Metode cakram
2. Metode
Cincin
a. Pengunaan Metode Cakram
Sehingga,
volume dari cakram tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.
Dengan
R dan t secara berturut-turut adalah jari-jari dan tinggi cakram.
Untuk melihat bagaimana penggunaan volume cakram dalam
menentukan volume benda putar yang lebih umum, perhatikan gambar berikut.
Untuk menentukan volume benda putar, perhatikan persegi
panjang yang terletak pada bidang datar. Apabila persegi panjang tersebut
diputar dengan pusat pada suatu garis, akan terbentuk salah satu cakram dalam
benda putar yang volumenya,
Sehingga volume benda putar tersebut dapat didekati dengan
menggunakan n buah cakram yang memiliki tinggi Δx dan jari-jari R(xi)
yang menghasilkan,
Pendekatan volume benda putar tersebut akan semakin baik
apabila banyak cakramnya mendekati tak hingga, n → ∞ atau ||Δ|| → 0.
Sehingga, kita dapat mendefinisikan volume benda putar sebagai berikut :
Secara sistematis, menentukan volume benda putar dengan
metode cakram dapat dilihat seperti berikut.
Rumus yang serupa juga dapat diturunkan apabila sumbu putarannya
vertikal. Apabila sumbu putarannya adalah vertikal (sumbu-y), maka rumus
volume benda putarnya adalah sebagai berikut.
Untuk membedakan antara volume benda putar dengan pusat di
garis horizontal ataupun vertikal, seperti pada
gambar berikut :
Aplikasi paling sederhana dari metode cakram adalah
menentukan volume benda putar hasil putaran daerah yang dibatasi oleh grafik
fungsi f dan sumbu-x. Jika sumbu putarannya adalah sumbu-x,
maka dengan mudah dapat ditentukan bahwa R(x) sama dengan f(x).
Perhatikan contoh berikut.
Contoh: Penggunaan Metode Cakram
Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran
daerah yang dibatasi oleh grafik,
Dan
sumbu-x (0 ≤ x ≤ π) dengan pusat putaran sumbu-x.
Pembahasan dari persegi panjang biru di atas, dengan mudah kita dapat
memperoleh jari-jari dari bangun ruang adalah,
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat
ditentukan sebagai berikut :
Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan
volume.
Pembahasan sebelumnya telah dibahas tentang bagaimana
menentukan volume benda putar dengan menggunakan metode cakram. Metode cakram tersebut dapat
diturunkan menjadi metode yang lain, yaitu metode cincin (washer method),
yaitu suatu metode yang menggunakan integral dalam menentukan volume benda
putar yang memiliki lubang. Cincin dalam metode ini dibentuk oleh hasil putaran
persegi panjang terhadap sumbu putaran tertentu (sumbu putaran tidak berimpit dengan
sisi persegi panjang), seperti terlihat pada gambar berikut.
Jika r dan R secara berturut-turut merupakan
jari-jari dalam dan luar dari cincin dan t merupakan ketebalan cincin,
maka volumenya dapat ditentukan sebagai berikut.
Untuk mengetahui bagaimana konsep ini dapat digunakan untuk
menentukan volume benda putar, perhatikan daerah yang dibatasi oleh jari-jari
luar R(x) dan jari-jari dalam r(x), seperti yang
ditunjukkan gambar di bawah ini.
Jika daerah tersebut diputar menurut sumbu putar yang
diberikan, volume benda putar yang dihasilkan adalah
Perhatikan bahwa integral yang melibatkan jari-jari dalam
merepresentasikan volume lubang yang dikurangkan dari integral yang melibatkan
jari-jari luar. Untuk lebih memahami dalam menemukan volume benda putar dengan
metode cincin, perhatikan contoh berikut :
Contoh: Penggunaan Metode Cincin
Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh putaran
daerah yang dibatasi oleh grafik dari y = √x dan y = x2
terhadap sumbu-x, seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut.
Pembahasan dari gambar di atas dapat
ditentukan bahwa jari-jari luar dan dalamnya adalah sebagai berikut.
Dengan
mengintegralkan dengan batas antara 0 dan 1, menghasilkan
BAB III
KESIMPULAN
A.
Kesimpulan
1. Integral
tertentu diberikan suatu fungsi ƒ
bervariabel real x dan interval antara
[a, b] pada garis real.
2. secara
informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh
kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x =
a dan x = b.
3. Ada
2 metode menghitung volume benda putar dengan menggunakan integral, yaitu:
-
Metode Cakram
-
Metode Cincin
B.
Saran
Penulis
harap agar pembaca tidak pernah lagi menganggap bahwa pelajaran matematika
adalah salah satu pelajaran yang sangat sulit dan menakutkan sehingga mata
pelajaran matematika lebih berkembang untuk mengahdapi era yang serba maju
sekarang ini.
DAFTAR PUSTAKA
Darmawan,
Achmad. 2012. Manfaat Integral dalam
Kehidupan Sehari-hari.
Kanginan,
Marthen. 2007. Matematika Integral. Bandung
: PT Grafindo Media Pratama
Sulasim,
Kastolan, Johanes. 2007. Kompetensi Matematika 3. Bandung : Yudhistira.
Mari kunjungi artikel kami yang sangat bermanfaat, berikut ini kami sampaikan beberapa judul yang menarik untuk anda baca:
BalasHapus1. Membuat daftar otomatis Pada Microsoft Word
https://harianidnet.blogspot.com/2019/09/membuat-daftar-isi-otomatis-pada.html?m=1
2. Cara menambah Subscriber YouTube dengan mudah
https://harianidnet.blogspot.com/2019/09/tips-cara-menambah-jumlah-subscriber.html?m=1
3. Cara membuat email Edu dengan penyimpanan google drive unlimited
https://harianidnet.blogspot.com/2019/09/cara-membuat-email-edu-dan-fasilitas.html?m=1
4. Menghasilkan uang dengan bermain Game Online
https://harianidnet.blogspot.com/2019/09/menghasilkan-uang-dari-bermain-game.html?m=1
5. Menghidupkan Lampu dengan cara tepuk tangan
https://harianidnet.blogspot.com/2019/11/menyalakan-lampu-dengan-sensor-suara.html?m=1
Terima kasih kepada semuanya yang telah berkunjung.
http://geocities.ws/nugi81/
BalasHapusmerit casino review 2021【WG98.VIP】
BalasHapusIs there anything that can bring you to the site in terms of 메리트 카지노 주소 sports betting? I 카지노 think I think the internet betting and 메리트카지노